一亩二分地

Stone前两天在他的Blog里提到了Super Bowl XLI，我还以为XLI只是一个标识而已，但今天听广播提到了第四十一届Super Bowl（美国橄榄球超级杯）才反应过来，原来XLI是罗马数字里表达四十一 ／ 41的方式。

相信大家对于10及以下的罗马数字还是挺熟悉的：I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、XI、X (依序为 1－ 10 ）这些表达方式里其实只包含了I（表示1）、V（表示5）、X（表示10）三个字母而已。大于10之后，虽然比较少见，但大家其实也可以猜测可能需要表达的数量，应该就是50、100、500、1000… 只不过可能不熟悉具体和哪个字母挂钩而已。

事实上也的确如此：罗马数字一共只有7个字母，除了之前提的三个，剩下的四个字母为：L（表示50）、C（表示100）、D（表示500）、M（表示1000）。有了这些字母之后，余下的还需要一个规则来组合这些字母来表达数字。其规则大致如下：

• 字母能累计叠加，如I是1，II是2，III是3
• 这是对上面规则的一个约束，即表示10的n（n＝0、1、2、3）次幂的字母（也即I、X、C、M）最多只能重复3次；而剩余的三个字母V、L、D，则不能被重复。
• 右加左减。右加比较容易理解，比如XVI就是（10＋5＋1＝16）。而左减这个规则的出现则解决了表达4、9、40等等之类数字的难题，比如4就是IV（在5左边写个1，因为不能靠写四个1来完成），而40就是XL（50－10）。
• 这又是对上面左减规则的约束：也就是不能跨位相减，也就是百位能减十位，但不能减个数位，类似的，千位只能减百位，不能减十位、个位。所以99就不能表示成IC（100－1？NO！），而只能复杂的写成90（XC）＋9（IX），合起来是XCXI。左减的第二个约束则是，左减的字母只能重复一次，也即不能用IIX来表示8，而必须用VIII（这样就可以来减少同一个数字却有多种罗马表达方式的情况）。左减的还有一个约束则是，不能左减5、50、500，即V、L、D这三个字母。

说到这儿，大家都应该可以认出XLI来了。然后本人对于XCL这个表示方法特别感兴趣，就想这也是个符合规则的罗马数字了吧，应该表示的是XC（90）＋L（50）＝140，幸好不是250。不过回头一想，CXL岂不应该是更合理的表达方式（C（100）＋XL（40）） ？这不就有重复的表达方式了？这回维基百科也没能解决这个问题，倒还又是Google解决了这个罗马数字的重复性，其实也就是还少了一条规则：

• 如果同时有两个相对小数值字母分列紧挨在一个大数值字母旁，则第一个（即左边的）小数值字母必须大于第二个（即右边的）小数值字母。比如XCI（91）就为合理，因为虽然X、I同时小于C，但同时X大于I（同样道理，一开始提到的XLI也符合规则）。而刚好是我姓名起始字母的XCL，则由于X小于处于C另一边的L，不符合本规则。140也就只能表达为CXL。

大家看到这儿可能也就会想到，那如果按照此规则，最大的可表达数字也莫过于MMMDCCCLXXXVIII（1000×3+500+100×3+50+10×3+5+1×3)=3888 而已。所以其实还有些别的方法来表达更大的数字，比如V就是在字母上面加横线的方式来表示该字母乘了1000，所以V也就是5000。

最后，如果大家对正则表达式（Regular Expression）有所了解，那要判断一个罗马数字（这儿只考虑3888以下的数字）是否是规则的表达方式，就可以通过下面这个模式来判断：
‘^M?M?M?(CM|CD|D?C?C?C?)(XC|XL|L?X?X?X?)(IX|IV|V?I?I?I?)$’

图注：由于历史原因，对于字母重复次数的规定并不是很严格，所以也有出现IIII，CCCC等等的情况。